A Level高数自学系列四：如何成功攻克高数纯数2？

先领真题再学习

马上就要大考啦！小伙伴们快来领取CAIE考试局近10年进阶数学真题-含最新2021年冬季卷！

关注「Alevel考试研习社」公众号，后台回复暗号：?「al进阶」?，添加小马甲微信，即可领取对应资料，诚意满满，A*必备！同学们赶快冲！

Hello，学弟学妹们大家好～我是在CAIE考试局拿过四门A*的维希，不知不觉间，高数系列已经写到了最后一张paper了，相信你也对这一张号称“高数最难卷”的FP2感到好奇吧？今天让我们一起来通过这篇文章探探它的“庐山真面目”吧！

对前3张papers感兴趣的同学也可以去看看我前面的文章哦：

??高数纯数1：进阶数学一键自学到A*！如何拿捏这门A Level最难学科？

??进阶力学：高分快递！进阶数学FM的高分秘籍请查收~

??????

??进阶统计：进阶数学如何冲刺A*！进阶统计的学习诀窍来啦~

内容介绍

之前有提到过：CAIE考试局的A Level高数分为了四张卷子，分别为高数纯数1（FP1）、高数力学（FM）、高数统计（FS）和高数纯数2（FP2），难度逐渐攀升，而高数纯数2毫无疑问是这四张卷子里最难的。

如果说同为纯数卷的高数纯数1的重点还在于和A Level数学的内容衔接上的话，那么高数纯数2的难度系数就要“更上一层楼”了。如果你对纯数的印象仅仅局限于微积分，那么你就“too young,too naive”了，因为FP2显然引入了更多较为陌生、也是更为进阶的概念。

举个直观点的例子，FP2在积分（integration）这一章引入了全新的归约公式（reduction formula）的概念，而在微分（differentiation）这一章里更是引入了新奇的麦克劳林级数（Maclaurin Series）的内容。

看到这里，你是不是有些焦虑如何学好FP2了呢？别急，下面的内容或许对你有所帮助。

如何自学高数纯数2

FP2这张卷子一共包含了六个章节，让我们来逐个击破～

Chapter 1

第一章双曲线函数（hyperbolic function）的内容是首次与大家见面，但千万别被这个“下马威”给吓到了，只要掌握技巧，双曲线函数并没有想象中那么难。

先来几个必须掌握的公式：

可以从图中看出，双曲线函数和三角函数（trigonometric function）颇为相似，而三角函数作为同学们在A Level数学阶段就已烂熟于心的知识点，显然从三角函数入手，比直接“生啃”双曲线函数要更具性价比。

那么，如何从三角函数推出双曲线函数呢？

答案就藏在奥斯本法则（Osborne’s rule）之中。根据Osborne’s rule，当我们把一个三角函数恒等式转换为双曲线函数恒等式时，可以直接把cos转换为cosh，但需要改变sin的乘积符号。

Chapter 2

来到了不少同学头疼的矩阵（Matrix）这一章，其实矩阵这一章难就难在“信息量太大”了，而且概念又确实颇为抽象。

就比如diagonalisation的过程，那可真是太太太长了：假设有一个A矩阵，我们得先计算出一个P矩阵（由eigenvectors组成）和一个D矩阵（由eigenvalues组成），再计算出A矩阵和P矩阵的乘积，即AP（划重点！！不是PA。在矩阵相乘中，先后顺序是非常重要的，也是决定对错的关键）；计算出P矩阵和D矩阵的乘积，即PD；最后，可得AP=PD。我们把一个可以写成A=PDP-1这种形式的矩阵称之为diagonalisable。

这也就意味着当题目要求计算出A20的时候，你没必要把A矩阵重复乘以20次了（那肯定考试结束还没算出来）。由于A=PDP-1，那么A20=(PDP-1)20；又因为PP-1=I（Identity matrix，是一个任何矩阵与之相乘都等于自己本身的矩阵），所以A20=PD20P-1。看似不可能计算出来的题目，就可以通过巧妙的diagonalisation解决了。

刚开始做矩阵相关题目时，感到困扰是正常的，不要因此急躁气馁。而破局之法也很简单——“无他，唯手熟尔”。

Chapter 3

第三章的章节名是微分（differentiation），相信大家都不陌生，毕竟是从A Level数学开始就耳熟能详的概念。

那么高数纯数2的微分到底有何不同凡响之处呢？

首当其冲便是对双曲线函数的微分。就比如sinhx的微分是coshx，而coshx的微分是sinhx。

我把常考的微分整理了一份供大家参考，如下图所示：

是不是觉得巨多？莫慌，这些式子绝大多数都可以在考试时下发的Formula Sheet里找到。但是根据经验，我还是建议大家自己学会推这些公式，尤其是关于inverse function的那部分。敲黑板：别以为公式表里有就可以偷懒了，考试可是会要求写出完整过程的，只知道结果只能喜提0分！！

此外，翻看Formula Sheet也是有时间成本的，而考试时间非常宝贵。想想看若是你对公式掌握熟练，节省下的时间是颇为可观的。悄咪咪提醒一句，每年都有因为做题太慢，所以不能做完整张卷子的考生，而他们往往得再花好几个月的时间去准备重考。浪费时间金钱不说，对心理也是一个巨大的考验，实在是得不偿失。

剩下有关麦克劳林级数的内容就更是小case啦～看似是很复杂的全新概念，但其实只需要掌握多次微分的知识点，再依照公式往里代入就行，可以说是非常朴实无华且枯燥了。

Chapter 4

既然微分是和双曲线函数有所关联的，那么无独有偶，FP2的积分（integration）部分自然也和它密不可分。

在解决积分部分的题目时，尤其需要注意观察题目类型，由于题型有些相似，建议看准题型再往上套公式，会顺畅很多，也避免踩坑。

若是遇到归约公式（reduction formula）也不打紧，只要把In的幂（power）分割正确就成功了一大半了。

比如下面这道题目，直接明示了In-2的重要性，所以只要把In分割成In-2和I2就可以了。明确了这个核心步骤后，其他过程无非是一些A Level数学里就已经学过的积分技巧，比如分部积分法（integration by parts）。

Chapter 5

复数（complex number）这一章的核心概念在于de Moivre’s theorem，以及一些之前A Level数学P3卷里学到过的知识点的进阶内容。

打个比方，之前我们就已经知道z=rcosθ+irsinθ，这是modulus-argument form；但在FP2的考纲内，我们还需要掌握zn=(rcosθ+irsinθ)n=rn(cosnθ+isin nθ)，这就是大名鼎鼎的de Moivre’s theorem，它的重要性简直不言而喻。可以这么说，这个theorem是你想要进入complex number这一章的门槛，跨不过去就只能止步于门外了。

还有一些需要掌握的公式，如下图：

老规矩，建议自己先推导一遍，这可以有效降低考试时遭遇“滑铁卢”的概率。

Chapter 6

终于来到最后一章啦～

与之前的三张paper有所不同的是：作为FP2最后一章的微分方程（Differential Equation，之后简称DE）单论难度，其实并不能说是所有章节中的翘楚，但这不代表你可以轻敌。

微分方程分为两种：

第一种是First order DE。一般来说有两类方法可以解决，其一是分离变量法，其二是积分因子（integrating factor）。

第二种是Second order DE，情况相较于First order DE更为复杂，需要整理出particular integral（PI）和complementary function（CF），把二者相加才可以成功得出这个微分方程的general solution（GS）。

学习建议

如果你认真看完了以上的内容，就会发现第一章的双曲线函数的意义非同凡响，绝不是打个酱油就走的那类知识点，它可是在之后的几章都一直保持着“高出镜率”的。

所以我建议大家在学第一章的时候一定要把基础打好，可以采取结合图像的方法去学习双曲线函数的有关内容，再根据图像去推导infinity和limit等相关知识点。图像承载的信息非常丰富，掌握图像会让之后的学习更顺遂一些～

除此之外，如果你为了FP2的题目烦恼的话，也千万不要自暴自弃。首先得承认的一点是，高数纯数2确实是四张卷子里难度系数最大的那一张paper，不要着急，多给自己一些时间。可以在刷真题时，总结错题经验，并且尽量保证下一次不要犯同样的错误，至少要保证自己是在不断进步的，哪怕慢一些，也没有关系。

希望大家能够成功攻克这一高数最难关卡，离A*更进一步～