A-level数学 | CIE P3 Complex Numbers典型题型

Complex Numbers（复数）一直以来都是CIE考局P3部分的重难点之一，并且复数的知识点在Edexcel考局里属于高数部分才会学习到的内容，可想而知其难度还是比较大的。今天我们就一起来看一道complex numbers的典型题型。

下面这道题出自2016年6月CIE考局的P3 paper 32。同学们在做complex numbers的题目时最容易在符号出错导致失分，所以做题时一定要细心，想拿满分数也不是那么容易的。

首先我们来看(a)问，(a)问是一道解方程的题，也是经常会考到的题型。这道题有两种做法，第一种方法就是用quadratic formula（求根公式）来做。求根公式

通过题目我们可以知道a=i，b=2，c=-3i，把对应的值代入求根公式就可以求出答案。

化简的时候不要忘记i2=-1。

这里一定要注意discriminantb2-4ac的化简非常容易出错，所以一定要看仔细。根据examiner report显示，这里也是这道小题的失分点。

到上面的结果之后不要忘记还需要化简成x+iy的形式。

第二种方法可以把z=x+iy代入原方程，这里要注意（x+iy）2的展开不要出错，

化简得到：

由此我们可以列出两个方程式：

第一个方程可以算出y=1，再把y=1代入第二个方程解

(b)的第一小问是画图题，这种题型也是complex numbers经常会考到的一种。第一步我们先把题目里的

要求写成

所以这道小题是要我们找到z到原点的距离等于z到4+3i的距离的locus，那么也就是原点和4+3i两点所形成的线段的垂直平分线，如下图所示。

(b)的第二小问是要我们找到这条locus上最小的|z|也就是长度最小的一点。从图上我们可以看出来原点到其他的点都比原点到原点和(4, 3)的中点长，因为直角三角形的斜边长度大于直角边长度，因此我们要找的点就是原点和(4, 3)的中点。中点的公式我们在P1的时候已经学习过:

根据公式我们可以算出中点的坐标为(2, 1.5)。那么modulus

argumen

这里要注意题目的要求要我们保留2位小数。

看完了以上的分析，最后给同学们留一道同类型的题目。下面这道题目出自2017年6月P3 question paper 32。