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真题解析——IB数学HL试题精讲之Complex Number Part 1

来源:渊学通      发布时间:

刷百题不如精做一题。今天小编为大家带来的是一道来自于2015年 Nov Mathematics HL section B的一道经典大题,分值为17分,难度系数为★★★☆☆,这一大题比较长,接下来将会分两期完成讲解!



这一大题的题根比较容易抓,浅显易懂,我们先来看看part a!


Part A 题目要求解Complex Equation z³=8i,并把解z写成polar form (极形式, z=rcisθ)以及Cartesian form (笛卡尔形式, a+bi)


题目精析


让我们先来回顾一下"代数基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)”

n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根


通俗地来讲,若方程是关于z的3次方,则它有3个解;若方程是关于z的5次方,则它有5个解;而若方程式关于z的n次方,则他有n个解。


回到题目,z³=8i,显然此方程式关于z的三次方,首先就可以推论出他有且只有三个解。


解Complex Equation的第一步永远是改写成cis form,即把8i变成cis form.


这里给大家安利一张三角函数特殊值表,作为高中生,这是一定要会背的哈。。。



改写之后就是怎么去解这个方程了,我们先把两边开1/3次方,得

需要记住的是,sin与cos函数的周期都是2π,为了获得多个解,括号里必须加上2kπ(k∈Z),然后得到

在这里需要使用De Moivre's Theorem,即把幂拉下来,乘进括号里面

再对其进行通分,以及化简得出:

前文提及这个方程有3个解,即k=0,1,2三种情况下z的解。若方程有5个解,即是k=0,1,2,3,4,五种情况下的解,通俗地讲,若方程有n个解,即是k=0,1,2...n-1下n种情况的解。


最后一步,按照题目要求变成a+bi形式,即

搞定~


考点总结


1. 这一题考察了代数基本定理的熟悉度,同学们一定要记住n次方的方程在complex field里面是有n个解的。

2. 先对括号里的部分加上2kπ,再对其进行De Moivre’s Theorem的使用。

3. 对Polar form以及Cartesian form的熟悉掌握与转换。


总结


这一道题分值为6分,难度其实并不高,算是比较简单的题目了,同学们平时得多练习解这样的Complex Equations因为这类题目是每年都会考的,基本功一定要扎实。IB的题目套路不如高考题深,所以对基本功的要求十分高~

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