A-level数学 | 一道题看懂Edexcel S1 normal distribution考点

normal distribution（正态分布）一直都是Edexcel考局S1考试部分的难点之一，也是学生最容易失分的部分之一。同学们要是想拿高分，这一部分一定要拿下大部分的分数。今天我们就来看一道稍微难一点的正态分布类型题。

下面这道题出自2017年10月Edexcel考局IAL的S1 paper，这道题满分是12分，但平均分只有6分。其中只有15%的同学拿到了全部的分数，并且有很大一部分的同学拿到了0分。

学生在做题的时候可以把关键字和数字圈出来便于做题，这道题的重点在第三段，60%的棍子大于45cm（L45）并且是红色的，15%的棍子小于35cm（L35）并且是蓝色的，剩下的棍子是黄色的。从上述已知条件里我们可以得出剩下的这些黄色棍子占了25%（1-60%-15%），长度在35cm到45cm之间（3545）。

(a)问要用到将一般的正态分布标准化的公式：

从上述已知条件里我们知道60%的棍子大于45cm，那么我们可以得出40%的棍子是小于45cm的，P(L45)=1-0.6=0.4。然后把45代入X的值，Z的值我们首先画一个standard normal distribution（标准正态分布）的图来确定它的正负，因为0.40.5所以Z在0的左边，因此Z是个负数，如下图所示。然后再通过formula book里的Percentage Points Of The Normal Distribution找到0.4所对应的值0.2533，因为Z的值是一个负数，所以Z=-0.2533。

(b)问和(a)问的步骤相同，P(L35)=0.15，把35代入X的值，同样通过画图我们可以确定Z的值是负数，然后再通过formula book里的Percentage Points Of The Normal Distribution找到Z的值-1.0364。(a)问和(b)问主要的错误都来自于漏掉了负号，所以做这种类型的题目时比较推荐画一个standard normal distribution的图来确定正负，这样不容易出错。

(c)问考察的是解方程组，这一问比较简单，只要把(a)问里得到的二元一次方程剪去(b)问里得到的二元一次方程就可以把μ消除得到一个关于σ的一元一次方程，解方程就可以算出σ的值，再把σ的值代入(a)问或者(b)问的方程解出μ的值，这里要注意最后的答案要保留三位有效数字。

(d)问考察的是conditional probability（条件概率）的知识点，首先我们来回顾一下conditional probability的公式：

我们把题目里的条件代入这个公式就可以得到

和

两个式子。35cm到45cm之间的概率我们在一开始就已经算过，P(3545)=0.25，小于45cm的概率在(a)问里也算过，P(L45)=0.4，大于35cm的概率可以通过1-P(L35)得到，P(L35)=1-0.15=0.85。

(e)问是这道题最难的一问，很多同学没有把这一问和(d)问联系在一起。从题干里我们知道Hei用的棍子是蓝色(L35)和黄色(3545)，所以我们可以得出Hei用的棍子都小于45cm(L45)，接着我们需要在这些小于45cm的棍子里找出黄色棍子的概率也就是

Tang用的棍子是红色(L45)和黄色(3545)，所以我们可以得出Tang用的棍子都大于35cm(L35)，接着我们需要在这些大于35cm的棍子里找出黄色棍子的概率也就是

因此这道题就是让我们对比(d)问的答案来得出相应的结论。